96年普通高等学校数学统考试题大全
96年普通高等学校数学统考试题大全
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再
选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则
(A)I=A∪B (B)I=∪B(C)I=A∪ (D)I=∪
(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是
(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是
(A){x|2kπ-3/4π<x<2kπ+1/4π,k∈Z}
(B){x|2kπ+1/4π<x<2kπ+5/4π,k∈Z}
(C){x|kπ-1/4π<x<kπ+1/4π,k∈Z}
(D){x|kπ+1/4π<x<kπ+3/4π,k∈Z}
(4)复数(2+2i)4/(1-i)5
(A)1+i (B)-1+i (C)1-i (D)-1-i
(5)如果直线l、m与平面α、β、γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ
(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ
(6)当-π/2≤x≤π/2,函数f(x)=sinx+cosx的
(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是1/2
(C)最大值是2,最小值是-2(C)最大值是2,最小值是-1
(7)椭圆的两个焦点坐标是
(A)(-3,5),(-3,-3)(B)(3,3),(3,-5)
(C)(1,1),(-7,1)(D)(7,-1),(-1,-1)
(8)若0<a<π/2,则arcsin[cos(π/2+a)]+arccos[sin(π+a)]等于
(A)π/2(B)-π/2(C)π/2-2a(D)-π/2-2a
(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为
(A)a3/6(B)a3/12(C)(/12)a3(D)(/12)a3
(10)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若S10/S5=31/32,则limSn等于
(A)2/3(B)-2/3(C)2(D)-2
(11)椭圆的极坐标方程为ρ=3/(2-cosθ),则它在短轴上的两个顶点的极坐标是
(A)(3,0),(1,π)(B)(,π/2),(,3π/2)
(C)(2,π/3),(2,5π/3)(D)(,arctg(/2)),(,2π-arctg(/2))
(12)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为
(A)130(B)170 (C)210 (D)260
(13)设双曲线x2/a2-y2/b2=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线
l的距离为/4c,则双曲线的离心率为
(A)2 (B) (C) (D)2/3
(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于
(A)2/3π(B)2/3π(C)π(D)2/3π
(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于
(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
(16)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切.则P=_______.
(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有_____个(用数字作答).
(18)tg20°+tg40°+tg20°tg40°的值是_______
(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角,则异面直线AD 与BF所成角的余弦值是______. |
三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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(20)本小题满分11分 |
解不等式loga(1-1/x)>0
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(21)本小题满分12分 |
已知△ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B,1/cosA+1/cosA=-/cosB,求cos(A-B)/2
的值。
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(22)本小题满分12分 |
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥侧面AC1.
(Ⅰ)求证:BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.
注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).
(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.
① ∵__________________________________
∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
② ∵___________________________________
∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.
③ ∵ __________________________________
∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,
④ ∵_________________________________
∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤ ∵_________________________
(Ⅱ)解:
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(23)本小题满分10分 |
某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果
人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(粮食单产=总产量/耕地面积,人均粮食占有量=总产量/总人口数)
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(24)本小题满分12分 |
已知l1、l2是过点P(-1,,0)的两条互相垂直的直线,且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点,
分别为A1、B1和A2、B2
(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围Ⅲ
(Ⅱ)若|A1B1|=|A2B2|,求l1、l2的方程
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(25)本小题满分12分 |
已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.
(Ⅰ)证明:│c│≤l;
(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;
(Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).
1996年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法
与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,
可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部
分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.
(1)C (2)A (3)D (4)B (5)A
(6)D (7)B (8)A (9)D (10)B
(11)C(12)C (13)A(14)D (15)B
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(16)2(17)32(18)(19)/4
(20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分.
解:(Ⅰ)当a>1时,原不等式等价于不等式组:
1-1/x>0 | 2分 | |
1-1/x>a |
由此得1-a>1/x
因为1-a<0,所以x<0,
∴1/(1-a)<x<05分
(Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:
1-1/x>0① | 7分 | |
1-1/x<a② |
由①得,x>1或x<0,
由②得,0<x<1/(1-a),
∴1<x<1/(1-a)。10分
综上,当a>1时,不等式的解集为{x|1/(1-a)<x<0},
0<a<1时,不等式的解集为{x|1<x<1/(1-a)}.11分
(21)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.满分12分.
解法一:由题设条件知B=60°,A+C=120°. 2分
∵-/cos60°=-2
∴1/cosA+1/cosC=-2
将上式化简为cosA+cosC=-2cosAcosC
利用和差化积及积化和差公式,上式可化为
2cos(A+C)/2cos(A-C)/2=-[cos(A+C)+cos(A-C)]
将cos(A+C)/2=cos60°=1/2,cos(A+C)=-1/2代入上式得
cos[(A-C)/2]=/2-cos(A-C)
将cos(A-C)=2[cos2(A-C)/2]-1代入上式并整理得
4cos2(A-C)/2+2cos(A-C)/2-3=0
2cos[(A-C)/2-][2cos(A-C)/2+3]=0
2cos(A-C)/2+3≠0
2cos(A-C)/2-=0
从而得cos(A-C)/2=/212分
解法二:由题设条件知B=60°,A+C=120°.
设α=(A-C)/2,则A-C=2α,可得A=60°+α,C=60°-α3分
所以1/cosA+1/cosC=1/cos(60°+α)+1/cos(60°-α)
=1/(1/2cosα-/2sinα)+1/(1/2cosα+/2sinα)
=cosα/(cos2α-3/4)7分
依题设条件有cosα/(cos2α-3/4)=-/cosB
∵cosB=1/2
∵cosα/(cos2α-3/4)=-2
整理得4cos2α+2cosα-3=0
(2cosα-)(2cosα+3)=0
2cosα+3≠0
2cosα-=0
从而得cos(A-C)/2=/212分
(22)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.
(Ⅰ) | ①∵面A1EC⊥侧面AC1, 2分 | |
②∵面ABC⊥侧面AC1, 3分 | ||
③∵BE∥侧面AC1, 4分 | ||
④∵BE∥AA1, 5分 | ||
⑤∵AF=FC, 6分 |
(Ⅱ)解:分别延长CE、C1B1交于点D,连结A1D.
∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根据三垂线定理得DA1⊥A1C,
所以∠CA1C1所求二面角的平面角. 11分
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°,
∴∠CA1C1=45°,即所求二面角为45°. 12分
(23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近
似计算的方法和能力.满分10分.
解:设耕地平均每年至多只能减少X公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.
依题意得不等式
答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷. 10分
(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.
有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得
有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得
又因为l1⊥l2,所以有k1·k2=-1. 4分
于是,l1、l2与双曲线各有两个交点,等价于
(Ⅱ)设A1(x1y1),B1(x2y2)1.由方程②知
∴│A1B1│2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
将⑤、⑥代入上式得
(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质,以及综合运用数学知识分析问题与
解决问题的能力。满分12分.
(Ⅰ)证明:由条件当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1,取x=0得
│c│=│f(0)│≤1,
即│c│≤1. 2分
(Ⅱ)证法一:当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,
∴g(-1)≤g(x)≤g(1),
∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│≥-2,
由此得│g(x)│≤2; 5分
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
∴g(-1)≥g(x)≥g(1),
∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,
∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2,
g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2,
由此得│g(x)│≤2; 7分
当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c.
∵-1≤x≤1,
∴│g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2.
综上得│g(x)│≤2. 8分
根据含绝对值的不等式的性质,得
即 │g(x)│≤2. 8分
(Ⅲ)因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,
即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.①
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,
∴c=f(0)=-1. 10分
因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),
根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,由此得
由① 得a=2.
所以 f(x)=2x2-1. 12分